Математическая модель оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле

Методы оптимизации применяются в различных отраслях человеческой деятельности. Процесс принятия решения в любой области распадается на несколько этапов:

постановка задачи;

построение модели;

решение моделей с помощью выбранного метода оптимизации;

реализация полученного результата.

Данная работа посвящена рассмотрению задачи линейного программирования транспортного типа, которая позволяет тренеру футбольной команды принять обоснованное решение о расстановке игроков на поле с учетом индивидуальных особенностей каждого игрока, с целью достижения максимальной эффективности игры всей команды в предстоящем матче.

Научная новизна данной работы заключается в автоматизации средствами ЭВМ разработанной математической модели оптимальной расстановки игроков футбольной команды на поле.

Для разработки приложения использованы следующие программные средства:

– Borland Delphi 7 - средство разработки пользовательского интерфейса приложения.

Данная научная работа является курсовым проектом и выполнена по заказу кафедры физвоспитания и спорта, что свидетельствует о ее практической значимости.

Теоретическая часть

Общая характеристика распределительной задачи

Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.

Типичная распределительная задача.

Таблица 1

Ресурсы	Работы, которые нужно выполнить						Объём имеющихся ресурсов
	J1	J2	...	Jj	...	Jn
R1 R2 ... Ri ... Rm	C1,1 C2,1 ... Ci,1 ... Cm,1	C1,2 C2,2 ... Ci,2 ... Cm,2	... ... ... ... ... ...	C1,j C2,j ... Ci,j ... Cm,j	... ... ... ... ... ...	C1,n C2,n ... Ci,n ... Cm,n	b1 b2 ... bi ... bm
Объём требуемых ресурсов	a1	a2	...	aj	...	an

Большинство распределительных задач можно представить в виде матриц (см. Таблица 1). Элементы Сi,j, стоящие в клетках матрицы, соответствуют затратам или доходу, отвечающим выделению, одной единицы ресурса Ri на работу Jj . Величины Сi,j могут быть независимыми или зависимыми. Так, например, затраты, обусловленные назначением одной автомашины на некоторый маршрут доставки грузов, не зависят от того какие машины назначены на обслуживание других маршрутов. В то же время при распределение средств между подразделениями фирмы доход от затрат определённого количества денег одним её подразделением (скажем производством) обычно зависит от того, какие средства будут затрачены другими подразделениями (скажем отделом сбыта). В теории распределения рассматриваются преимущественно задачи с независимыми затратами и доходами. Это объясняется не тем, что такие задачи более важны, а лишь тем, что для них значительно легче строить модели и получать решения.

Если затраты (или доход), определяемые объёмом Xi,j ресурса i, выделенного на выполнение работы Jj, равны Xi,j * Ci,j , то имеем линейную распределительную задачу. Распределительные задачи с независимыми линейными функциями затрат (или дохода) стали объектом, наиболее интенсивных исследований, в виду того что для их решения были развиты эффективные, итеративные методы линейного программирования. Однако имеются также методы решения некоторых нелинейных распределительных задач, в том числе методы, основанные на линейной аппроксимации.

Распределение ресурсов для одного периода времени может влиять на распределения ресурсов для последующих периодов, а может не оказывать на них никакого влияния. Если каждое из последовательности распределений не зависит от всех остальных, то такая задача называется статистической, в противном случае имеем динамическую распределительную задачу. Статистические задачи исследованы в большей степени, чем динамические, но для решения некоторых типов динамических задач успешно применяются методы линейного динамического и динамического программирования. Для решения некоторых динамических задач применяют методы стохастического программирования. В таких задачах принятие решений основано на вероятностных оценках будущих значений параметров, имеющих фиксированное распределение вероятностей.

Основные методы решения распределительных задач, в частности линейного программирования, построены на допущении, что объёмы, имеющихся в наличии ресурсов (bi), требуемые объёмы (aj ) и затраты (Ci,j ) точно известны.

Если общий объём наличных ресурсов ∑bi (i=1...m) равен общей потребности в них ∑aj (j=1...n), то имеет место сбалансированная (закрытая) распределительная задача. Если же ∑aj <> ∑bi , то задача называется несбалансированной (открытой). Если ресурсы можно разделить между работами, то некоторые работы можно выполнять с помощью различных комбинаций ресурсов. Если работы и ресурсы измеряются в единицах одной и той же шкалы, то такие задачи обычно называют транспортными или задачами разложения. Если же работы и ресурсы выражаются в различных единицах измерениях, то задача называется общей распределительной задачей.

Таким образом, транспортная задача является частным случаем общей распределительной задачи.

• Транспортная задача как частный случай общей распределительной задачи
• Решение транспортной задачи методом потенциалов.
• Формулировка задачи
• Разработка модели
• Программная реализация