Оптимизация и критерии оптимизации

При решении задачи О. можно применять только один критерий, поскольку невозможно получить решение, к-рое обеспечивает одновременно, напр., минимум затрат, максимум надежности оборудования и минимум потребляемой энергии. Если все же конкретная задача О. характеризуется совокупностью неск. критериев (часто при этом противоречивых), то один из путей ее решения заключается в выборе к.-л. критерия в качестве первичного, в то время как остальные критерии будут вторичными. Обычно О. используют первичный критерий; вторичные критерии рассматриваются как ограничения оптимизац. задачи, к-рые должны выполняться для решения задачи О.

На третьем этапе постановки задачи осуществляют выбор независимых переменных, к-рые позволяют адекватно оценивать качество проекта или условия функционирования системы. На этом этапе проводят различие между переменными, значения к-рых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения к-рых фиксированы и определяются внеш. факторами. Кроме того, выявляют различие между теми параметрами, к-рые могут предполагаться постоянными, и параметрами, подверженными флук-туациям вследствие воздействия неконтролируемых факторов. На данном этапе необходимо учесть все наиб. важные переменные, от к-рых зависит функционирование системы или качество проекта, но не "перегружать" оптимизац. задачу большим числом мелких, несуществ. деталей.

После того как критерий оптимизации и переменные задачи выбраны, на четвертом этапе нужно построить модель, к-рая описывает связи между переменными и их влияние на критерий оптимизации. В принципе она м.б. выполнена на основе непосредств. экспериментирования с системой путем поиска значений управляющих воздействий, при к-рых выбранный критерий О. имеет наилучшее значение. Однако на практике чаще используют мат. модель объекта О. (см. Моделирование). Применение мат. моделей предпочтительнее, поскольку опыты, проводимые на реальных системах, требуют, как правило, больших затрат ср-в и времени, а в ряде случаев связаны с значит. риском.

Мат. модель представляет собой систему ур-ний, отражающую сущность явлений, протекающих в объекте моделирования, решение к-рой с помощью определенного алгоритма позволяет прогнозировать поведение объекта при изменении входных и управляющих параметров. В самом общем виде структура модели включает осн. ур-ния материальных и энергетич. балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, а также ур-ния, к-рые описывают физ. процессы, протекающие в системе. Эти ур-ния обычно дополняют неравенствами, к-рые определяют область изменения значений независимых переменных, позволяют сформулировать требования, накладываемые на границы изменения характеристик функционирования системы, и т.д.

Классификация оптимизационных задач. В общем случае задачу О. объектов хим. технологии можно представить как задачу минимизации или максимизации веществ, ф-ции мн. переменных f(x), где х- вектор с компонентами xi-. Последние представляют собой совокупность всех переменных объекта, изменяемых при его О. На эти переменные в общем случае м.б. наложены дополнит. условия в форме равенств, неравенств, а также двусторонних ограничений сверху и снизу:

где Hk(x), Сj(x) - веществ, нелинейные ф-ции векторного аргумента , К, J, N~ число условий соответствующих типов. При этом обычно ф-цию f(x) наз. целевой, ур-ния Hk(х) = 0-ограничениями в виде равенств, а неравенства Gj(x)0-ограничениями в виде неравенств.

Задачи общего вида: минимизировать (максимизировать) f(x) при указанных ограничениях, наз. оптимизац. задачами с ограничениями, или задачами условной О. Задачи, в к-рых ограничения отсутствуют, носят назв. задач без ограничений, или задач безусловной О. Последние особенно важны, поскольку мн. методы решения условных задач основаны на сведении их к безусловным.

Оптимизац. задачи классифицируют также в соответствии с видом ф-ций f(x), Hk(х)и Gj(x). Ф-ции мн. переменных наз. линейными, если все их частные производные 1-го порядка не зависят от переменных, в противном случае - нелинейными. Задачи, в к-рых все указанные ф-ции линейны, относят к задачам линейного программирования. Если среди пере-числ. ф-ций хотя бы одна нелинейна, то такие задачи обычно относятся к задачам нелинейного программирования. (Термин "программирование" в данном случае не связан непосредственно с программированием ЭВМ, а означает лишь определенную процедуру решения задачи.)